Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

ru:fdtd [2012/02/13 03:39]
deinega [Поглощающие граничные условия]
ru:fdtd [2013/08/08 21:27] (текущий)
deinega [Приложения]
Строка 2: Строка 2:
 Здесь находится вводное описание метода Finite-Difference Time-Domain (FDTD). Здесь находится вводное описание метода Finite-Difference Time-Domain (FDTD).
  
-====== FDTD ======+====== FDTD (Finite-Difference Time-Domain) ======
  
 FDTD является одним из наиболее популярных методов для численного решения уравнений Максвелла. Базовый алгоритм этого метода был предложен Кейном Йи в 1966 г. Однако имеющуюся популярность FDTD приобрел только в 90х гг. прошлого столетия, когда он стал основным для моделирования самых разных оптических приложений. Вот некоторые причины его популярности: FDTD является одним из наиболее популярных методов для численного решения уравнений Максвелла. Базовый алгоритм этого метода был предложен Кейном Йи в 1966 г. Однако имеющуюся популярность FDTD приобрел только в 90х гг. прошлого столетия, когда он стал основным для моделирования самых разных оптических приложений. Вот некоторые причины его популярности:
Строка 67: Строка 67:
  
 <html><center></html> <html><center></html>
-{{:ru:fdtd:fdtd_yee.png?250}}\\+{{:fdtd:fdtd_yee.png?250}}\\
 //Положения сеточных узлов для компонент электрического и магнитного полей на сетке Йи.//\\ //Положения сеточных узлов для компонент электрического и магнитного полей на сетке Йи.//\\
 <html></center></html> <html></center></html>
Строка 74: Строка 74:
  
 <html><center></html> <html><center></html>
-{{:ru:fdtd:fdtd_time.png?250}}\\+{{:fdtd:fdtd_time.png?250}}\\
 //Развертка одномерной сетки Йи по времени: узлы, соответствующие электрическому и магнитному полям, сдвинуты друг относительно по пространству и по времени на половину шага.//\\ //Развертка одномерной сетки Йи по времени: узлы, соответствующие электрическому и магнитному полям, сдвинуты друг относительно по пространству и по времени на половину шага.//\\
 <html></center></html> <html></center></html>
Строка 132: Строка 132:
  
 <tex> <tex>
-C_{a,E_x}|_{i,j+1/2, k+1/2}+C_{b,E_x}|_{i,j+1/2, k+1/2}
 ( (
 H_z|_{i,j+1, k+1/2}^n-H_z|_{i,j, k+1/2}^n + H_y|_{i,j+1/2, k}^n-H_y|_{i,j+1/2, k+1}^n - J_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^n \Delta H_z|_{i,j+1, k+1/2}^n-H_z|_{i,j, k+1/2}^n + H_y|_{i,j+1/2, k}^n-H_y|_{i,j+1/2, k+1}^n - J_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^n \Delta
Строка 190: Строка 190:
  
 <html><center></html> <html><center></html>
-{{:ru:fdtd:fdtd_tfsf.png?250}}\\+{{:fdtd:fdtd_tfsf.png?250}}\\
 //Схема численного эксперимента FDTD с использованием метода полного и рассеянного поля.//\\ //Схема численного эксперимента FDTD с использованием метода полного и рассеянного поля.//\\
 <html></center></html> <html></center></html>
Строка 200: Строка 200:
 Понятие идеально согласованного слоя (PML) было введено Дж.-П. Беренгером в 1994 году. Работа такого слоя основывалась на разбиении исходных полей <tex>\vec E</tex> и <tex>\vec H</tex> на две компоненты, для каждой из которых должны решаться свои уравнения. Впоследствии были предложены усовершенствованные формулировки PML эквивалентные первоначальной формулировке Беренгера. Так, в одноосном PML (Uniaxial PML) используется анизотропный поглощающий материал, что позволяет не вводить дополнительные переменные и остаться в рамках исходных уравнений Максвелла. Однако одноосный PML, как и PML в формулировке Беренгера, не удобны тем, что в них отсутствует поглощение затухающих волн, что не позволяет помещать PML близко к рассеивающим телам. Этого недостатка лишен оборотный PML (Convolutional PML), основанный на аналитическом продолжении уравнений Максвелла в комплексную плоскость таким образом, что их решение экспоненциально затухает. CPML также удобнее в ограничении бесконечных проводящих и дисперсных сред. Помимо этого математическая формулировка CPML обладает большей наглядностью и доступностью для понимания. Понятие идеально согласованного слоя (PML) было введено Дж.-П. Беренгером в 1994 году. Работа такого слоя основывалась на разбиении исходных полей <tex>\vec E</tex> и <tex>\vec H</tex> на две компоненты, для каждой из которых должны решаться свои уравнения. Впоследствии были предложены усовершенствованные формулировки PML эквивалентные первоначальной формулировке Беренгера. Так, в одноосном PML (Uniaxial PML) используется анизотропный поглощающий материал, что позволяет не вводить дополнительные переменные и остаться в рамках исходных уравнений Максвелла. Однако одноосный PML, как и PML в формулировке Беренгера, не удобны тем, что в них отсутствует поглощение затухающих волн, что не позволяет помещать PML близко к рассеивающим телам. Этого недостатка лишен оборотный PML (Convolutional PML), основанный на аналитическом продолжении уравнений Максвелла в комплексную плоскость таким образом, что их решение экспоненциально затухает. CPML также удобнее в ограничении бесконечных проводящих и дисперсных сред. Помимо этого математическая формулировка CPML обладает большей наглядностью и доступностью для понимания.
  
-В качестве иллюстрации мы хотим показать ход численного моделирования рассеяния плоской волны на шаре, в котором используются метод полного и рассеянного поля и поглощающие граничные условия. Этот эксперимент интересен тем, что он позволяет сравнить результаты FDTD с известным аналитическим решением этой задачи (решение Ми).+В некоторых случаях использование PML приводит к расходимости FDTD. 
 +Эту проблему можно устранить путем использования Additional back absorbing layers technique [[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0010465510001839|http]]{{:deinega_-_long-time_behavior_of_pml_absorbing_boundaries_for_layered_periodic_structures.pdf|PDF}}
  
-<html><center></html> +===== Периодические граничные условия ===== 
-{{:ru:fdtd:fdtd_tfsf.png?250}}\\ +
-//Моделирование с помощью FDTD рассеяния плоской волны на шаре.//\\ +
-<html></center></html>+
  
 FDTD может применяться не только для конечных, но и для бесконечных периодических структур. Для их моделирования используются периодические граничные условия по одному или по нескольким направлениям. В частности, фотонно-кристаллические пластинки и антиотражающие покрытия являются планарными периодическими структурами: они периодичны по двум направлениям и имеют ограниченную протяженность по оставшемуся направлению. Реальные экспериментальные образцы, конечно, имеют ограниченный размер и по первым двум направлениям, но поскольку этот размер существенно больше их протяженности по непериодическому направлению, влиянием конечности образца с хорошей степенью точности можно пренебречь. FDTD может применяться не только для конечных, но и для бесконечных периодических структур. Для их моделирования используются периодические граничные условия по одному или по нескольким направлениям. В частности, фотонно-кристаллические пластинки и антиотражающие покрытия являются планарными периодическими структурами: они периодичны по двум направлениям и имеют ограниченную протяженность по оставшемуся направлению. Реальные экспериментальные образцы, конечно, имеют ограниченный размер и по первым двум направлениям, но поскольку этот размер существенно больше их протяженности по непериодическому направлению, влиянием конечности образца с хорошей степенью точности можно пренебречь.
Строка 212: Строка 210:
  
 <html><center></html> <html><center></html>
-{{:ru:fdtd:fdtd_period.png?300}}\\+{{:fdtd:fdtd_period.png?300}}\\
 //Схема численного эксперимента FDTD для расчета спектров прохождения и отражения планарной периодической структуры в случае нормально падения. 1 -- генерирующая электромагнитный импульс граница между областями полного (справа от 1) и рассеянного (слева от 1) поля; 2, 2' - плоскости, в которых расположены детекторы для измерения отраженной и прошедшей волны соответственно.//\\ //Схема численного эксперимента FDTD для расчета спектров прохождения и отражения планарной периодической структуры в случае нормально падения. 1 -- генерирующая электромагнитный импульс граница между областями полного (справа от 1) и рассеянного (слева от 1) поля; 2, 2' - плоскости, в которых расположены детекторы для измерения отраженной и прошедшей волны соответственно.//\\
 <html></center></html> <html></center></html>
Строка 229: Строка 227:
  
 Нормируя поток энергии прошедшей и отраженной волны на падающий импульс, мы получаем интересующие нас спектры прохождения <tex>T(\omega)</tex> и отражения <tex>R(\omega)</tex>. Поглощение вычисляется как <tex>A(\omega)=1-T(\omega)-R(\omega)</tex>. Нормируя поток энергии прошедшей и отраженной волны на падающий импульс, мы получаем интересующие нас спектры прохождения <tex>T(\omega)</tex> и отражения <tex>R(\omega)</tex>. Поглощение вычисляется как <tex>A(\omega)=1-T(\omega)-R(\omega)</tex>.
 +
 +Схема FDTD для моделирования наклонного падения плоской волны на периодическую структуру может быть найдена здесь [[http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?uri=ol-33-13-1491|http]]{{:valuev_-_iterative_technique_for_analysis_of_periodic_structures_at_oblique_incidence_in_the_finite-difference_time-domain_method.pdf|PDF}}
 +
 +===== Метод подсеточного сглаживания ===== 
 +
 +Как и в любом другом разностном методе, в FDTD существует проблема неточного отображения границы тела на вычислительную сетку. В непосредственной близости от границы двух сред уравнения Максвелла должны решаться с учетом граничных условий для векторов <tex>\vec E</tex> и <tex>\vec H</tex>. Любая кривая поверхность, разделяющая соседние среды и геометрически не согласованная с сеткой, будет искажаться эффектом "лестничного приближения". В результате порядок точности FDTD понижается с изначального второго до первого.
 +
 +Для решения данной проблемы были предложены различные методы. Первая группа методов основана на изменении способа дискретизации уравнений Максвелла с той целью, чтобы сетка максимально соответствовала рассматриваемой геометрии. Например один из таких методов заключается в увеличении разрешения сетки в тех областях пространства, где расположены тела со сложной геометрической структурой. Также можно видоизменять разностные уравнения в узлах сетки, находящихся вблизи границы между соседними телами. Более радикальным шагом является введение нерегулярной неортогональной сетки, которая полностью согласовывалась бы с рассматриваемой геометрией. Такая сетка автоматически генерируется программой, которая следит за расстановкой всех тел в пространстве. Общим недостатком упомянутых методов является увеличение объема требуемой памяти и порой существенное снижение производительности.
 +
 +Другая группа методов основывается на введении эффективной диэлектрической проницаемости <tex>\varepsilon</tex> вблизи границы между телами. Рассмотрим некоторый контрольный объем <tex>{\delta}x\times{\delta}y\times{\delta}z</tex>, окружающий выбранный узел сетки, и предположим, что он содержит границу раздела между двумя средами со значениями диэлектрической проницаемости <tex>\varepsilon_1</tex> и <tex>\varepsilon_2</tex>. Тогда граничные условия для векторов <tex>\vec{E}$ и $\vec{D}</tex> могут быть реализованы на сетке путем ввода тензора обратной диэлектрической проницаемости в форме:
 +
 +<tex>
 +\hat{\bf \varepsilon}^{-1}={\bf P}<\varepsilon^{-1}>+({\bf 1}-{\bf P})<\varepsilon>^{-1},
 +</tex>
 +
 +где <tex>{\bf P}</tex> - это матрица <tex>P_{ij}=n_in_j</tex> соответствующая проектору на вектор нормали <tex>\vec{n}</tex> к границе между двумя средами, а <tex><></tex> есть усреднение по объему.
 +
 +Более подробно о реализации этого метода в FDTD можно почитать здесь
 +[[http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=ol-32-23-3429|http]]{{:deinega_-_subpixel_smoothing_for_conductive_and_dispersive_media.pdf|PDF}}
  
 ====== Применение FDTD ====== ====== Применение FDTD ======
Строка 282: Строка 299:
 </tex>. </tex>.
  
-{{ru:flux.png?300}}+{{fdtd:flux.png?300}}
  
 В задаче о рассеянии интересуются количеством энергии рассеянной волны, ее угловой зависимостью, а также количеством поглощаемой телом энергии. В задаче о рассеянии интересуются количеством энергии рассеянной волны, ее угловой зависимостью, а также количеством поглощаемой телом энергии.
Строка 356: Строка 373:
 Пусть на тело падает монохроматическая линейно поляризованная волна.  Пусть на тело падает монохроматическая линейно поляризованная волна. 
  
-{{ru:far.png?300}}+{{fdtd:far.png?300}}
  
 Направим ось <tex>z</tex> вдоль направления падения. Выберем какую-либо точку внутри тела в качестве начала координат <tex>O</tex>, а оси <tex>x</tex>, <tex>y</tex> направим произвольно. Нашей системе координат соответствуют ортонормированный базис векторов <tex>{\bf e_x}</tex>, <tex>{\bf e_y}</tex>, <tex>{\bf e_z}</tex>.  Направим ось <tex>z</tex> вдоль направления падения. Выберем какую-либо точку внутри тела в качестве начала координат <tex>O</tex>, а оси <tex>x</tex>, <tex>y</tex> направим произвольно. Нашей системе координат соответствуют ортонормированный базис векторов <tex>{\bf e_x}</tex>, <tex>{\bf e_y}</tex>, <tex>{\bf e_z}</tex>. 
Строка 420: Строка 437:
 Базисный вектор <tex>{\bf e_{\parallel{}s}}</tex> параллелен, а <tex>{\bf e_{\perp{}s}}</tex> перпендикулярен плоскости рассеяния. Заметим, однако, что <tex>{\bf E_s}</tex> и <tex>{\bf E_i}</tex> определены в разных системах базисных векторов. Тем не менее, вследствие линейности уравнений Максвелла, связь между ними можно представить в матричном виде Базисный вектор <tex>{\bf e_{\parallel{}s}}</tex> параллелен, а <tex>{\bf e_{\perp{}s}}</tex> перпендикулярен плоскости рассеяния. Заметим, однако, что <tex>{\bf E_s}</tex> и <tex>{\bf E_i}</tex> определены в разных системах базисных векторов. Тем не менее, вследствие линейности уравнений Максвелла, связь между ними можно представить в матричном виде
  
-{{ru:sc_matrix.png?250}},+{{fdtd:sc_matrix.png?250}},
  
 где комплексные числа <tex>S_j</tex> (<tex>j=1,2,3,4</tex>) составляют амплитудную матрицу рассеяния, зависящую от угла рассеяния <tex>\theta</tex> и азимута <tex>\phi</tex>. где комплексные числа <tex>S_j</tex> (<tex>j=1,2,3,4</tex>) составляют амплитудную матрицу рассеяния, зависящую от угла рассеяния <tex>\theta</tex> и азимута <tex>\phi</tex>.
Строка 435: Строка 452:
 Ниже представлен лист избранных публикаций: Ниже представлен лист избранных публикаций:
  
-  * A. Deinega, I. Valuev, B. Potapkin and Yu. Lozovik, "Minimizing light reflection from dielectric textured surfaces," JOSA A 28, 770 (2011). +  * A. Deinega, I. Valuev, B. Potapkin and Yu. Lozovik, "Minimizing light reflection from dielectric textured surfaces," JOSA A 28, 770 (2011) [[http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=josaa-28-5-770|http]]{{:deinega_-_minimizing_light_reflection_from_dielectric_textured_surfaces.pdf|PDF}} 
 +  * S. Zalyubovskiy et. al., "Theoretical limit of localized surface plasmon resonance sensitivity to local refractive index change and its comparison to conventional surface plasmon resonance sensor", JOSA A 29, 994 (2012) [[http://www.opticsinfobase.org/josaa/abstract.cfm?uri=josaa-29-6-994|http]]{{:zalyubovskiy_-_theoretical_limit_of_localized_surface_plasmon_resonance_sensitivity.pdf|PDF}} 
 +  * A. Deinega, S. John, "Solar power conversion efficiency in modulated silicon nanowire photonic crystals", J. Appl. Phys. 112, 074327 (2012) [[http://jap.aip.org/resource/1/japiau/v112/i7/p074327_s1|http]]{{:deinega_-_solar_power_conversion_efficiency_in_modulated_silicon_nanowire_photonic_crystals.pdf|PDF}} 
 +  * S. Belousov et. al., "Using metallic photonic crystals as visible light sources", Phys. Rev. B 86, 174201 (2012) [[http://prb.aps.org/abstract/PRB/v86/i17/e174201|http]]{{:belousov_-_using_photonic_crystals_as_visible_light_sources.pdf|PDF}} 
 +  * A. Deinega, S. Eyderman, S. John, "Coupled optical and electrical modeling of solar cell based on conical pore silicon photonic crystals", J. Appl. Phys. 113, 224501 (2013) [[http://jap.aip.org/resource/1/japiau/v113/i22/p224501_s1|http]]{{:deinega_-_coupled_optical_and_electrical_modeling_of_solar_cell_based_on_conical_pore_silicon_photonic_crystals.pdf|PDF}}
 Смотрите также {{:deinega_thesis.pdf|диссертацию Алексея Дейнеги}}. Смотрите также {{:deinega_thesis.pdf|диссертацию Алексея Дейнеги}}.
 
/home/kintechlab/fdtd.kintechlab.com/docs/data/attic/ru/fdtd.1329089977.txt.gz · Последние изменения: 2012/02/13 03:39 — deinega     Наверх