Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

ru:fdtd [2012/02/13 03:15]
deinega [FDTD]
ru:fdtd [2013/08/08 21:27] (текущий)
deinega [Приложения]
Строка 2: Строка 2:
 Здесь находится вводное описание метода Finite-Difference Time-Domain (FDTD). Здесь находится вводное описание метода Finite-Difference Time-Domain (FDTD).
  
-====== FDTD ======+====== FDTD (Finite-Difference Time-Domain) ======
  
 FDTD является одним из наиболее популярных методов для численного решения уравнений Максвелла. Базовый алгоритм этого метода был предложен Кейном Йи в 1966 г. Однако имеющуюся популярность FDTD приобрел только в 90х гг. прошлого столетия, когда он стал основным для моделирования самых разных оптических приложений. Вот некоторые причины его популярности: FDTD является одним из наиболее популярных методов для численного решения уравнений Максвелла. Базовый алгоритм этого метода был предложен Кейном Йи в 1966 г. Однако имеющуюся популярность FDTD приобрел только в 90х гг. прошлого столетия, когда он стал основным для моделирования самых разных оптических приложений. Вот некоторые причины его популярности:
Строка 67: Строка 67:
  
 <html><center></html> <html><center></html>
-{{:ru:fdtd:fdtd_yee.png?250}}\\+{{:fdtd:fdtd_yee.png?250}}\\
 //Положения сеточных узлов для компонент электрического и магнитного полей на сетке Йи.//\\ //Положения сеточных узлов для компонент электрического и магнитного полей на сетке Йи.//\\
 <html></center></html> <html></center></html>
Строка 74: Строка 74:
  
 <html><center></html> <html><center></html>
-{{:ru:fdtd:fdtd_time.png?250}}\\+{{:fdtd:fdtd_time.png?250}}\\
 //Развертка одномерной сетки Йи по времени: узлы, соответствующие электрическому и магнитному полям, сдвинуты друг относительно по пространству и по времени на половину шага.//\\ //Развертка одномерной сетки Йи по времени: узлы, соответствующие электрическому и магнитному полям, сдвинуты друг относительно по пространству и по времени на половину шага.//\\
 <html></center></html> <html></center></html>
Строка 112: Строка 112:
  
 <tex> <tex>
-\varepsilon_{i,j+1/2, k+1/2}\frac{E_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^{n+1/2}-E_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^{n-1/2}}{\Delta t} \\[20pt] +\varepsilon_{i,j+1/2, k+1/2}\frac{E_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^{n+1/2}-E_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^{n-1/2}}{\Delta t}= 
-\displaystyle \quad =\frac{H_z|_{i,j+1, k+1/2}^n-H_z|_{i,j, k+1/2}^n}{\Delta y} -\frac{H_y|_{i,j+1/2, k+1}^n-H_y|_{i,j+1/2, k}^n}{\Delta z} \\[20pt] +</tex> 
-\quad \quad -J_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^n - \sigma_{i,j+1/2, k+1/2}E_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^n. </tex>+ 
 +<tex> 
 +\frac{H_z|_{i,j+1, k+1/2}^n-H_z|_{i,j, k+1/2}^n}{\Delta y} -\frac{H_y|_{i,j+1/2, k+1}^n-H_y|_{i,j+1/2, k}^n}{\Delta z} -J_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^n - \sigma_{i,j+1/2, k+1/2}E_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^n.  
 +</tex>
  
 Стоящие в правой части переменные берутся на временном шаге <tex>n</tex>, включая поле <tex>E_x</tex>. Поскольку для значения <tex>E_x</tex> в момент времени <tex>n</tex> данных на сетке нет, нужно для него пользоваться каким-либо приближением. Хорошим выбором является усреднение по соседним временным слоям: Стоящие в правой части переменные берутся на временном шаге <tex>n</tex>, включая поле <tex>E_x</tex>. Поскольку для значения <tex>E_x</tex> в момент времени <tex>n</tex> данных на сетке нет, нужно для него пользоваться каким-либо приближением. Хорошим выбором является усреднение по соседним временным слоям:
Строка 124: Строка 127:
 Положим <tex>\Delta=\Delta x=\Delta y=\Delta z</tex>. Тогда мы можем явно выразить <tex>E_x</tex> на <tex>n+1/2</tex> шагу: Положим <tex>\Delta=\Delta x=\Delta y=\Delta z</tex>. Тогда мы можем явно выразить <tex>E_x</tex> на <tex>n+1/2</tex> шагу:
  
-\begin{equation} +<tex> 
-\begin{array}{l} +E_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^{n+1/2}= C_{a,E_x}|_{i,j+1/2, k+1/2} E_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^{n-1/2} 
-E_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^{n+1/2}= C_{a,E_x}|_{i,j+1/2, k+1/2} E_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^{n-1/2} \\[20pt] +</tex> 
-+C_{a,E_x}|_{i,j+1/2, k+1/2} + 
-\left( +<tex> 
-\begin{array}{l} +C_{b,E_x}|_{i,j+1/2, k+1/2} 
-H_z|_{i,j+1, k+1/2}^n-H_z|_{i,j, k+1/2}^n \\ [20pt] +
-+ H_y|_{i,j+1/2, k}^n-H_y|_{i,j+1/2, k+1}^n\\ [20pt] +H_z|_{i,j+1, k+1/2}^n-H_z|_{i,j, k+1/2}^n + H_y|_{i,j+1/2, k}^n-H_y|_{i,j+1/2, k+1}^n - J_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^n \Delta 
-- J_x|_{i,j+1/2, k+1/2}^n \Delta +), 
-\end{array} +</tex> 
-\right), +
-\end{array} +
-\label{eq:schAmpere} +
-\end{equation}+
 где  где 
-\begin{equation} +<tex> 
-C_{a}|_{i,j,k}=\left( 1-\frac{\sigma_{i,j,k}\Delta t}{2 \varepsilon_{i,j,k}} \right)\left( 1+\frac{\sigma_{i,j,k}\Delta t}{2 \varepsilon_{i,j,k}} \right)^{-1}, \label{eq:Ca} +C_{a}|_{i,j,k}=\left( 1-\frac{\sigma_{i,j,k}\Delta t}{2 \varepsilon_{i,j,k}} \right)\left( 1+\frac{\sigma_{i,j,k}\Delta t}{2 \varepsilon_{i,j,k}} \right)^{-1}, 
-\end{equation} +</tex> 
-\begin{equation} +<tex> 
-C_{b}|_{i,j,k}=\left( \frac{\Delta t}{\varepsilon_{i,j,k} \Delta} \right)\left( 1+\frac{\sigma_{i,j,k}\Delta t}{2 \varepsilon_{i,j,k}} \right)^{-1}. \label{eq:Cb} +C_{b}|_{i,j,k}=\left( \frac{\Delta t}{\varepsilon_{i,j,k} \Delta} \right)\left( 1+\frac{\sigma_{i,j,k}\Delta t}{2 \varepsilon_{i,j,k}} \right)^{-1}. 
-\end{equation}.+</tex>
  
 Мы получили разностное уравнение, соответствующее проекции закона Ампера на ось <tex>x</tex>, которое вместе с пятью оставшимися аналогичными разностными уравнениями и формируют алгоритм Йи. Мы получили разностное уравнение, соответствующее проекции закона Ампера на ось <tex>x</tex>, которое вместе с пятью оставшимися аналогичными разностными уравнениями и формируют алгоритм Йи.
  
-%Можно показать, что в случае непроводящей среды (<tex>\sigma=0</tex>) и при отсутствии источников тока <tex>\vec{J}</tex> два оставшиеся незадействованными нами уравнения Максвелла выполняются автоматически, а именно, дивергенция полей <tex>\vec{E}</tex> и <tex>\vec{H}</tex> всегда равна нулю. При наличии источников тока справедливость двух оставшихся уравнений не вытекает непосредственно из разностной схемы, но с хорошей точностью подтверждается в численном эксперименте.+Можно показать, что в случае непроводящей среды (<tex>\sigma=0</tex>) и при отсутствии источников тока <tex>\vec{J}</tex> два оставшиеся незадействованными нами уравнения Максвелла выполняются автоматически, а именно, дивергенция полей <tex>\vec{E}</tex> и <tex>\vec{H}</tex> всегда равна нулю. При наличии источников тока справедливость двух оставшихся уравнений не вытекает непосредственно из разностной схемы, но с хорошей точностью подтверждается в численном эксперименте.
  
 Выбор значений <tex>\Delta x</tex>, <tex>\Delta y</tex>, <tex>\Delta z</tex> обуславливается геометрией задачи и спектральным составом излучения. Можно дать следующую рекомендацию: на характерный размер объекта (радиус шариков, толщину экрана и т. п.) должно приходится не менее нескольких сеточных шагов, а на характерную длину волны - от десяти и больше. Величина значения <tex>\Delta t</tex> ограничена сверху условием Куранта Выбор значений <tex>\Delta x</tex>, <tex>\Delta y</tex>, <tex>\Delta z</tex> обуславливается геометрией задачи и спектральным составом излучения. Можно дать следующую рекомендацию: на характерный размер объекта (радиус шариков, толщину экрана и т. п.) должно приходится не менее нескольких сеточных шагов, а на характерную длину волны - от десяти и больше. Величина значения <tex>\Delta t</tex> ограничена сверху условием Куранта
Строка 160: Строка 160:
 В этом параграфе мы рассмотрели реализацию алгоритма Йи для случая, когда среда характеризуется не зависящими от частоты скалярными значениями <tex>\varepsilon</tex>, <tex>\mu</tex>, <tex>\sigma</tex>, <tex>\sigma^*</tex>. Численное моделирование анизотропных, дисперсных и нелинейных сред требует модификации этого алгоритма и применения вспомогательных разностных уравнений. В этом параграфе мы рассмотрели реализацию алгоритма Йи для случая, когда среда характеризуется не зависящими от частоты скалярными значениями <tex>\varepsilon</tex>, <tex>\mu</tex>, <tex>\sigma</tex>, <tex>\sigma^*</tex>. Численное моделирование анизотропных, дисперсных и нелинейных сред требует модификации этого алгоритма и применения вспомогательных разностных уравнений.
  
-Отметим также, что численная схема FDTD не предполагает возможности табличного задания зависимости диэлектрической проницаемости от частоты. Однако в FDTD можно задать эту зависимость в виде произвольного числа членов в форме Дебая, Друде и Лоренца. [[fitting]]+Отметим также, что численная схема FDTD не предполагает возможности табличного задания зависимости диэлектрической проницаемости от частоты. Как моделировать в FDTD дисперсные материалы, можно прочитать в разделе [[fitting]].
  
 ===== Численный эксперимент FDTD ===== ===== Численный эксперимент FDTD =====
 +
 +Перечислим "основных участников" численного эксперимента FDTD.
 +
 +  *Материальные тела, оптические свойства которых мы исследуем.
 +  *Источник электромагнитной волны. Самый простой способ задания источника заключается в задании временной зависимости величины <tex>J_{source}</tex> в уравнениях Максвелла. Такой тип источника обычно используется при моделировании диполей. Для генерации плоской волны более удобен другой тип источника, реализуемый с помощью метода полного и рассеянного поля (total field / scattered field method).
 +  *Детекторы, снимающие поля на сетке в течение всего численного эксперимента. Детекторам не отвечают какие-то реальные тела в пространстве, под ними подразумевается лишь то, что мы записываем значения полей в каких-то точках внутри вычислительного объема в файл. По окончании расчета на основании этого файла можно будет восстановить ход численного эксперимента. Детекторы могут размещаться в произвольном месте вычислительного объема и не привязаны к сетке. Значения полей на них получаются путем интерполяции по соседним сеточным узлам.
  
 Обычный сценарий численного эксперимента FDTD выглядит так:  Обычный сценарий численного эксперимента FDTD выглядит так: 
Строка 168: Строка 174:
   * Источник генерирует конечную во времени электромагнитную волну, спектральный состав которой должен покрывать интересующий нас диапазон частот. Далее, волна падает на тела, перерассеивается на них, и, при наличии поглощающих граничных условий, через какое-то время уходит из вычислительного объема. История распространения волны фиксируется детекторами.   * Источник генерирует конечную во времени электромагнитную волну, спектральный состав которой должен покрывать интересующий нас диапазон частот. Далее, волна падает на тела, перерассеивается на них, и, при наличии поглощающих граничных условий, через какое-то время уходит из вычислительного объема. История распространения волны фиксируется детекторами.
   * С помощью преобразования Фурье записанные на детекторах значения полей переводятся в частотное представление. Далее, обрабатывая их (например, интегрируя поток энергии поля через какую-либо поверхность), мы получаем интересующие нас оптические характеристики рассматриваемой структуры тел.   * С помощью преобразования Фурье записанные на детекторах значения полей переводятся в частотное представление. Далее, обрабатывая их (например, интегрируя поток энергии поля через какую-либо поверхность), мы получаем интересующие нас оптические характеристики рассматриваемой структуры тел.
 +
 +Поясним некоторые использованные нами понятия. 
 +
 +===== Метод полного и рассеянного поля =====
 +
 +Этот метод используется для моделирования бесконечно удаленного источника плоской волны. Этот метод основан на линейности уравнений Максвелла и вытекающего из них принципа суперпозиции. А именно, мы предполагаем, что измеряемое (полное) поле <tex>\vec E_{total}</tex> и <tex>\vec H_{total}</tex> может быть представлено в виде суммы
 +
 +<tex>
 +\vec E_{total} = \vec E_{inc} + \vec E_{scat}, \quad \vec H_{total} = \vec H_{inc} + \vec H_{scat}.
 +</tex>
 +
 +<tex>\vec E_{inc}</tex>, <tex>\vec H_{inc}</tex> соотвествует полю падающей волны, которая предполагается известной во всех точках пространства в любой момент времени. Это та волна, которая распространялась бы в пространстве, если бы в нем не существовало никаких тел. <tex>\vec E_{scat}</tex>, <tex>\vec H_{scat}</tex> соответствует рассеянной волне, представляющей собой результат взаимодействия падающей волны с телами. Значение рассеянной волны заранее неизвестно.
 +
 +Разностные уравнения FDTD могут независимо применяться как для полного поля, так и для падающего или рассеянного полей. Это позволяет разбить вычислительный объем на две области: область полного поля, в которой рассчитывается полное поле, и область рассеянного поля, в которой рассчитывается рассеянное поле. Эти две области разделяет виртуальная граница, которая служит для генерации плоской волны в область полного поля. Разностные уравнения, используемые для расчета компонент поля в прилегающих к этой границе сеточных узлах, отличаются от исходных наличием дополнительных слагаемых, в которых учитывается значение поля падающей волны.
 +
 +<html><center></html>
 +{{:fdtd:fdtd_tfsf.png?250}}\\
 +//Схема численного эксперимента FDTD с использованием метода полного и рассеянного поля.//\\
 +<html></center></html>
 +
 +===== Поглощающие граничные условия ===== 
 +
 +Для устранения нефизичного переотражения электромагнитной волны от границы вычислительного объема и моделирования таким образом ухода волны на бесконечность в FDTD должны использоваться особые поглощающие граничные условия. В настоящее время наиболее успешной реализацией этих условий является помещение вдоль границы вычислительного объема тонкого слоя специального материала, называемого идеально согласованным слоем (Perfectly Matched Layer - PML). Этот материал в идеале полностью поглощает все падающие на него волны без какого-либо отражения независимо от угла падения и длины волны.
 +
 +Понятие идеально согласованного слоя (PML) было введено Дж.-П. Беренгером в 1994 году. Работа такого слоя основывалась на разбиении исходных полей <tex>\vec E</tex> и <tex>\vec H</tex> на две компоненты, для каждой из которых должны решаться свои уравнения. Впоследствии были предложены усовершенствованные формулировки PML эквивалентные первоначальной формулировке Беренгера. Так, в одноосном PML (Uniaxial PML) используется анизотропный поглощающий материал, что позволяет не вводить дополнительные переменные и остаться в рамках исходных уравнений Максвелла. Однако одноосный PML, как и PML в формулировке Беренгера, не удобны тем, что в них отсутствует поглощение затухающих волн, что не позволяет помещать PML близко к рассеивающим телам. Этого недостатка лишен оборотный PML (Convolutional PML), основанный на аналитическом продолжении уравнений Максвелла в комплексную плоскость таким образом, что их решение экспоненциально затухает. CPML также удобнее в ограничении бесконечных проводящих и дисперсных сред. Помимо этого математическая формулировка CPML обладает большей наглядностью и доступностью для понимания.
 +
 +В некоторых случаях использование PML приводит к расходимости FDTD.
 +Эту проблему можно устранить путем использования Additional back absorbing layers technique [[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0010465510001839|http]]{{:deinega_-_long-time_behavior_of_pml_absorbing_boundaries_for_layered_periodic_structures.pdf|PDF}}
 +
 +===== Периодические граничные условия ===== 
 +
 +FDTD может применяться не только для конечных, но и для бесконечных периодических структур. Для их моделирования используются периодические граничные условия по одному или по нескольким направлениям. В частности, фотонно-кристаллические пластинки и антиотражающие покрытия являются планарными периодическими структурами: они периодичны по двум направлениям и имеют ограниченную протяженность по оставшемуся направлению. Реальные экспериментальные образцы, конечно, имеют ограниченный размер и по первым двум направлениям, но поскольку этот размер существенно больше их протяженности по непериодическому направлению, влиянием конечности образца с хорошей степенью точности можно пренебречь.
 +
 +В практических приложениях, как правило, наиболее интересны спектры прохождения и отражения от рассматриваемых структур. Для их получения в случае нормального падения в FDTD используется следующий численный эксперимент. Граница между областями полного и рассеянного поля генерирует плоскую волну в форме ограниченного по времени импульса, который падает на структуру (на рисунке ниже этот импульс генерируется на границе 1 и движется слева направо). Часть падающего импульса отражается от структуры, пересекает плоскость, в которой находятся детекторы, меряющие отраженную волну (плоскость 2 на рисунке), и поглощается задним слоем PML. Другая часть проходит сквозь структуру, пересекает плоскость, в которой расположены детекторы, меряющие прошедшую волну (плоскость 2' на рисунке), и поглощается передним слоем PML. Численный эксперимент продолжается до тех пор, пока сигнал не выйдет из вычислительного объема. Время выхода сигнала зависит от конкретной геометрии эксперимента. При увеличении продольной протяженности структуры это время увеличивается по причине увеличения расстояния, которое должен пройти сигнал, чтобы из нее выйти. Время выхода сигнала зависит также и от оптических свойств исследуемой структуры, например, при наличии поглощения оно меньше.
 +
 +<html><center></html>
 +{{:fdtd:fdtd_period.png?300}}\\
 +//Схема численного эксперимента FDTD для расчета спектров прохождения и отражения планарной периодической структуры в случае нормально падения. 1 -- генерирующая электромагнитный импульс граница между областями полного (справа от 1) и рассеянного (слева от 1) поля; 2, 2' - плоскости, в которых расположены детекторы для измерения отраженной и прошедшей волны соответственно.//\\
 +<html></center></html>
 +
 +По окончании эксперимента записанные детекторами значения полей <tex>\vec E(t)</tex>, <tex>\vec H(t)$</tex> переводятся в частотное представление с помощью дискретного преобразования Фурье. Далее, рассчитывая среднее значение вектора Пойнтинга по времени <tex>\vec S(\omega)</tex> на каждом из детекторов по формуле
 +
 +<tex>
 +\vec S(\omega ) = \frac{1}{2} {\rm Re} \left((\vec E(\omega ) \times \vec H(\omega )^* \right),
 +</tex>
 +
 +мы можем посчитать средний поток энергии <tex>W(\omega)</tex>, проходящий через поверхность <tex>A</tex>, на которой расположены детекторы:
 +
 +<tex>
 +W(\omega ) = \int\limits_A {\vec S(\omega)\vec {dA}}.
 +</tex>
 +
 +Нормируя поток энергии прошедшей и отраженной волны на падающий импульс, мы получаем интересующие нас спектры прохождения <tex>T(\omega)</tex> и отражения <tex>R(\omega)</tex>. Поглощение вычисляется как <tex>A(\omega)=1-T(\omega)-R(\omega)</tex>.
 +
 +Схема FDTD для моделирования наклонного падения плоской волны на периодическую структуру может быть найдена здесь [[http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?uri=ol-33-13-1491|http]]{{:valuev_-_iterative_technique_for_analysis_of_periodic_structures_at_oblique_incidence_in_the_finite-difference_time-domain_method.pdf|PDF}}
 +
 +===== Метод подсеточного сглаживания ===== 
 +
 +Как и в любом другом разностном методе, в FDTD существует проблема неточного отображения границы тела на вычислительную сетку. В непосредственной близости от границы двух сред уравнения Максвелла должны решаться с учетом граничных условий для векторов <tex>\vec E</tex> и <tex>\vec H</tex>. Любая кривая поверхность, разделяющая соседние среды и геометрически не согласованная с сеткой, будет искажаться эффектом "лестничного приближения". В результате порядок точности FDTD понижается с изначального второго до первого.
 +
 +Для решения данной проблемы были предложены различные методы. Первая группа методов основана на изменении способа дискретизации уравнений Максвелла с той целью, чтобы сетка максимально соответствовала рассматриваемой геометрии. Например один из таких методов заключается в увеличении разрешения сетки в тех областях пространства, где расположены тела со сложной геометрической структурой. Также можно видоизменять разностные уравнения в узлах сетки, находящихся вблизи границы между соседними телами. Более радикальным шагом является введение нерегулярной неортогональной сетки, которая полностью согласовывалась бы с рассматриваемой геометрией. Такая сетка автоматически генерируется программой, которая следит за расстановкой всех тел в пространстве. Общим недостатком упомянутых методов является увеличение объема требуемой памяти и порой существенное снижение производительности.
 +
 +Другая группа методов основывается на введении эффективной диэлектрической проницаемости <tex>\varepsilon</tex> вблизи границы между телами. Рассмотрим некоторый контрольный объем <tex>{\delta}x\times{\delta}y\times{\delta}z</tex>, окружающий выбранный узел сетки, и предположим, что он содержит границу раздела между двумя средами со значениями диэлектрической проницаемости <tex>\varepsilon_1</tex> и <tex>\varepsilon_2</tex>. Тогда граничные условия для векторов <tex>\vec{E}$ и $\vec{D}</tex> могут быть реализованы на сетке путем ввода тензора обратной диэлектрической проницаемости в форме:
 +
 +<tex>
 +\hat{\bf \varepsilon}^{-1}={\bf P}<\varepsilon^{-1}>+({\bf 1}-{\bf P})<\varepsilon>^{-1},
 +</tex>
 +
 +где <tex>{\bf P}</tex> - это матрица <tex>P_{ij}=n_in_j</tex> соответствующая проектору на вектор нормали <tex>\vec{n}</tex> к границе между двумя средами, а <tex><></tex> есть усреднение по объему.
 +
 +Более подробно о реализации этого метода в FDTD можно почитать здесь
 +[[http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=ol-32-23-3429|http]]{{:deinega_-_subpixel_smoothing_for_conductive_and_dispersive_media.pdf|PDF}}
  
 ====== Применение FDTD ====== ====== Применение FDTD ======
Строка 221: Строка 299:
 </tex>. </tex>.
  
-{{ru:flux.png?300}}+{{fdtd:flux.png?300}}
  
 В задаче о рассеянии интересуются количеством энергии рассеянной волны, ее угловой зависимостью, а также количеством поглощаемой телом энергии. В задаче о рассеянии интересуются количеством энергии рассеянной волны, ее угловой зависимостью, а также количеством поглощаемой телом энергии.
Строка 295: Строка 373:
 Пусть на тело падает монохроматическая линейно поляризованная волна.  Пусть на тело падает монохроматическая линейно поляризованная волна. 
  
-{{ru:far.png?300}}+{{fdtd:far.png?300}}
  
 Направим ось <tex>z</tex> вдоль направления падения. Выберем какую-либо точку внутри тела в качестве начала координат <tex>O</tex>, а оси <tex>x</tex>, <tex>y</tex> направим произвольно. Нашей системе координат соответствуют ортонормированный базис векторов <tex>{\bf e_x}</tex>, <tex>{\bf e_y}</tex>, <tex>{\bf e_z}</tex>.  Направим ось <tex>z</tex> вдоль направления падения. Выберем какую-либо точку внутри тела в качестве начала координат <tex>O</tex>, а оси <tex>x</tex>, <tex>y</tex> направим произвольно. Нашей системе координат соответствуют ортонормированный базис векторов <tex>{\bf e_x}</tex>, <tex>{\bf e_y}</tex>, <tex>{\bf e_z}</tex>. 
Строка 359: Строка 437:
 Базисный вектор <tex>{\bf e_{\parallel{}s}}</tex> параллелен, а <tex>{\bf e_{\perp{}s}}</tex> перпендикулярен плоскости рассеяния. Заметим, однако, что <tex>{\bf E_s}</tex> и <tex>{\bf E_i}</tex> определены в разных системах базисных векторов. Тем не менее, вследствие линейности уравнений Максвелла, связь между ними можно представить в матричном виде Базисный вектор <tex>{\bf e_{\parallel{}s}}</tex> параллелен, а <tex>{\bf e_{\perp{}s}}</tex> перпендикулярен плоскости рассеяния. Заметим, однако, что <tex>{\bf E_s}</tex> и <tex>{\bf E_i}</tex> определены в разных системах базисных векторов. Тем не менее, вследствие линейности уравнений Максвелла, связь между ними можно представить в матричном виде
  
-{{ru:sc_matrix.png?250}},+{{fdtd:sc_matrix.png?250}},
  
 где комплексные числа <tex>S_j</tex> (<tex>j=1,2,3,4</tex>) составляют амплитудную матрицу рассеяния, зависящую от угла рассеяния <tex>\theta</tex> и азимута <tex>\phi</tex>. где комплексные числа <tex>S_j</tex> (<tex>j=1,2,3,4</tex>) составляют амплитудную матрицу рассеяния, зависящую от угла рассеяния <tex>\theta</tex> и азимута <tex>\phi</tex>.
Строка 374: Строка 452:
 Ниже представлен лист избранных публикаций: Ниже представлен лист избранных публикаций:
  
-  * A. Deinega, I. Valuev, B. Potapkin and Yu. Lozovik, "Minimizing light reflection from dielectric textured surfaces," JOSA A 28, 770 (2011). +  * A. Deinega, I. Valuev, B. Potapkin and Yu. Lozovik, "Minimizing light reflection from dielectric textured surfaces," JOSA A 28, 770 (2011) [[http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=josaa-28-5-770|http]]{{:deinega_-_minimizing_light_reflection_from_dielectric_textured_surfaces.pdf|PDF}} 
 +  * S. Zalyubovskiy et. al., "Theoretical limit of localized surface plasmon resonance sensitivity to local refractive index change and its comparison to conventional surface plasmon resonance sensor", JOSA A 29, 994 (2012) [[http://www.opticsinfobase.org/josaa/abstract.cfm?uri=josaa-29-6-994|http]]{{:zalyubovskiy_-_theoretical_limit_of_localized_surface_plasmon_resonance_sensitivity.pdf|PDF}} 
 +  * A. Deinega, S. John, "Solar power conversion efficiency in modulated silicon nanowire photonic crystals", J. Appl. Phys. 112, 074327 (2012) [[http://jap.aip.org/resource/1/japiau/v112/i7/p074327_s1|http]]{{:deinega_-_solar_power_conversion_efficiency_in_modulated_silicon_nanowire_photonic_crystals.pdf|PDF}} 
 +  * S. Belousov et. al., "Using metallic photonic crystals as visible light sources", Phys. Rev. B 86, 174201 (2012) [[http://prb.aps.org/abstract/PRB/v86/i17/e174201|http]]{{:belousov_-_using_photonic_crystals_as_visible_light_sources.pdf|PDF}} 
 +  * A. Deinega, S. Eyderman, S. John, "Coupled optical and electrical modeling of solar cell based on conical pore silicon photonic crystals", J. Appl. Phys. 113, 224501 (2013) [[http://jap.aip.org/resource/1/japiau/v113/i22/p224501_s1|http]]{{:deinega_-_coupled_optical_and_electrical_modeling_of_solar_cell_based_on_conical_pore_silicon_photonic_crystals.pdf|PDF}}
 Смотрите также {{:deinega_thesis.pdf|диссертацию Алексея Дейнеги}}. Смотрите также {{:deinega_thesis.pdf|диссертацию Алексея Дейнеги}}.
 
/home/kintechlab/fdtd.kintechlab.com/docs/data/attic/ru/fdtd.1329088511.txt.gz · Последние изменения: 2012/02/13 03:15 — deinega     Наверх